如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE.(1)求∠ACB的度数；(2)过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长.

Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE.

(1)求∠ACB的度数；
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(2)过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长.
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Answer 1

【分析】(1)根据条件易得出△AEB≌△DEC，则BE=BC，进而得出△EBC为等边三角形，即可得出答案；
\n(2)作BM⊥AC于点M，由已知得出EF，BC的长，进而得出CM，BM的长，再求出AM的长，然后由勾股定理求出AB的长.

(1)证明：在△AEB和△DEC中，

\n∴△AEB≌△DEC(ASA)，
\n∴EB=EC，
\n又∵BC=CE，
\n∴BE=CE=BC，
\n∴△EBC为等边三角形，
\n∴∠ACB=60°；
\n(2)∵OF⊥AC，
\n∴AF=CF，
\n∵△EBC为等边三角形，
\n∴∠GEF=60°，
\n∴∠EGF=30°，
\n∵EG=2，
\n∴EF=1，
\n又∵AE=ED=3，
\n∴CF=AF=4，
\n∴AC=8，EC=5，
\n∴BC=5.
\n作BM⊥AC于点M，

\n∵∠BCM=60°，
\n∴∠MBC=30°，
\n∴，，
\n∴，
\n∴.

【点评】本题难点在于(2)中作辅助线，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长. 若已知条件中没有直角时，要运用勾股定理，必须构造直角三角形.