如图所示,ab为圆o的直径,bc为圆o的切线,d为圆o上一点,cd=cb,延长cd交ba的延长线于点e⑴求证:cd为圆o的切线⑵若cd的弦心距oe=1,角abd=30°,求图中阴影部分的面积

Question

如图所示,ab为圆o的直径,bc为圆o的切线,d为圆o上一点,cd=cb,延长cd交ba的延长线于点e
⑴求证:cd为圆o的切线
⑵若cd的弦心距oe=1,角abd=30°,求图中阴影部分的面积

Answer 1

（1）
证明：连接OD,
∵BC是⊙O的切线,
∴∠ABC=90°,
∵CD=CB,
∴∠CBD=∠CDB,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
∴∠ODC=∠ABC=90°,
即OD⊥CD,
∵点D在⊙O上,
∴CD为⊙O的切线；

（2）
在Rt△OBF中,
∵∠ABD=30°,OF=1,
∴∠BOF=60°,OB=2,BF=根号3,
∵OF⊥BD,
∴BD=2BF=2根号3,
∠BOD=2∠BOF=120°,
∴S_阴影=S_扇形OBD-S_△BOD=120π×2^2/360-1/2×2根号3×1=4/3π-根号3