如图，四边形中ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，P为对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K．求证：K是线段MN的中点．

Question

如图，四边形中ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，P为对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K．
求证：K是线段MN的中点．

Answer 1

证明：∵EF截△PMN，
则(NK)/(KM).(MF)/(FP).(PE)/(EN)＝1(1)
∵BC截△PAE，
则(EB)/(BA).(AC)/(CP).(PN)/(NE)＝1(2)，
∴即有(PN)/(NE)＝(2CP)/(AC)，
所以(PE)/(EN)＝(2CP+AC)/(AC)(3)，
∵CD截△PMA，
则(FD)/(DC).(CA)/(AP).(PM)/(MF)＝1，
即(PM)/(MF)＝(2AP)/(AC)，∴(PF)/(MF)＝(2AP−AC)/(AC)(4)
因AP=AC+CP，得2CP+AC=2AP-AC，由（3），（4）得，
(PE)/(EN)＝(FP)/(MF)，
即(MF)/(FP).(PE)/(EN)＝1，
所以由（1）得NK=KM，即K是线段MN的中点．