如图平行四边形ABCD中对角线AC与BD交于O,P为平面内任意一点,求证PA+PB+PC+PD=4PO

Question

如图 平行四边形ABCD中对角线AC与BD交于O,P为平面内任意一点,求证PA+PB+PC+PD=4PO

Answer 1

在平面几何范围内,这个结论不成立.
反例：
当P与O重合时,OP=0,
而PA+PB+PC+PD=2(AC+BD)≠0,
∴这是一个假命题.
若是向量题,那么本题是一个真命题：
延长PO到Q,使OQ=PO,连接AQ、BQ、CQ,
则PQ=2OP,PC=AQ,PD=BQ,
而PA+AQ=PQ,PB+BQ=PQ,
∴PA+PC=2PO,PA+PD=2PO,
∴PA+PB+PC+PD=4PO.