已知：正方形ABCD内一点E，连接EA、EB、EC．（1）若EA2+EC2=2EB2，请说明点E必在对角线AC上．（2）若EA+EB+EC的最小值为2（3+1），求正方形ABCD的边长．

Question

已知：正方形ABCD内一点E，连接EA、EB、EC．
（1）若EA²+EC²=2EB²，请说明点E必在对角线AC上．
（2）若EA+EB+EC的最小值为√(2)（√(3)+1），求正方形ABCD的边长．

Answer 1

（1）证明：如图1中，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得△CBE′，连接EE′．

∵BE=BE′，∠EBE′=90°，AE=CE′，
∴EE′=√(2)BE，
∵EA²+EC²=2EB²，
∴CE′²+EC²=EE′²，
∴∠ECE′=90°，
∴∠ECB+∠BCE′=∠ECB+∠BAE=90°，
∴A、E、C共线，
∴点E在正方形ABCD的对角线上．

（2） 如图2中，将△ABE绕点B逆时针旋转60°得△A′BE′，连结A′C，作A′H⊥BC于H．

∵△ABE绕点B逆时针旋转60°得△A′BE′，
∴BE=BE′，∠EBE′=60°，
∴△EBE′为等边三角形，
∴EE′=BE，
∴A′E′=AE，BA′=BA=2，∠ABA′=60°，
∵A′E′+E′E+EC≥A′C，
∴AE+BE+CE≥AC（当且仅当点E′、点E在AC上时，取等号），
∴AE+BE+CE有最小值，最小值为A′C的长，设正方形的边长为a，
在Rt△A′BH中，∠A′BH=30°，
∴A′H=(1)/(2)A′B=(1)/(2)a，BH=√(3)A′H=(√(3))/(2)a，
∴CH=a+(√(3))/(2)a，
在Rt△A′CH中，A′C²=A′H²+CH²，
∴（(1)/(2)a）²+（a+(√(3))/(2)a）²=（√(6)+√(2)）²，
解得a=2．
∴正方形的边长为2．