（2009•本溪二模）如图，⊙O上两点C、E关于直径AB对称，连接AC、BC，过C作CE的垂线，交⊙O于点D，交EB的延长线交于点F，且BC：CA=3：1，AB=10，（1）证明：B是EF的中点；（2）求CF的长．

Question

（2009•本溪二模）如图，⊙O上两点C、E关于直径AB对称，连接AC、BC，过C作CE的垂线，交⊙O于点D，交EB的延长线交于点F，且BC：CA=√(3)：1，AB=10，
（1）证明：B是EF的中点；
（2）求CF的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC：CA=√(3)：1，AB=10，
∴AB=10，BC=5√(3)，AC=5，
∵C、E关于直径AB对称，
∴CE⊥AB，且AB为⊙O的直径，
∴弧BC=弧BE，
∴BC=BE，
∵tanA=(5√(3))/(5)=√(3)，
∴∠A=60°=∠CEB，
∴△CBE是等边三角形，
∴BC=BE，∠ECB=60°，
∵CF⊥CE，
∴∠ECF=90°，
∴∠F=∠FCB=90°-60°=30°，
∴CB=BF，
∴CB=BE=BF，
∴B为EF中点；

（2）由（1）得：CE=CB=5√(3)，∠E=60°，
∴CF=CE•tan60°=5√(3)×√(3)=15．