设函数y=y（x）满足y″-3y′+2y=2ex，且其图形与抛物线y=x2-x+1在点（0，1）处有公切线，求y（x）．

Question

设函数y=y（x）满足y″-3y′+2y=2e^x，且其图形与抛物线y=x²-x+1在点（0，1）处有公切线，求y（x）．

Answer 1

由y″-3y′+2y=2e^x，得特征方程为：
r²-3r+2=0
解得特征根：r₁=1，r₂=2
而f（x）=2e^x，λ=1为特征根
∴设其特解为：y^*=axe^x，其中a为待定常数．
∴代入，得
a（x+2）e^x-3a（x+1）e^x+2axe^x=2e^x
即：（a+2）e^x=0
∴a=-2
∴微分方程的通解为：
y＝C1ex+C2e2x−2xex…①
又由“其图形与抛物线y=x²-x+1在点（0，1）处有公切线”，知

y|x＝0＝1

y′|x＝0＝−1

∴由①得：

C1+C2＝1

C1+2C2＝1

∴C₁=1，C₂=0
∴y=（1-2x）e^x