椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一

Question

椭圆 C ： ＝1( a ＞ b ＞0)的左、右焦点分别是 F ₁ 、 F ₂ ，离心率为 ，过 F ₁ 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为1.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，过点 P 作斜率为 k 的直线 l ，使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点．设直线 PF ₁ ， PF ₂ 的斜率分别为 k ₁ ， k ₂ .若 k ≠0，试证明 ＋ 为定值，并求出这个定值．

Answer 1

（1） ＋ y ² ＝1.（2） ＋ 为定值，这个定值为－8

(1)由于 c ² ＝ a ² － b ² ，将 x ＝－ c 代入椭圆方程 ＝1，得 y ＝± .
由题意知 ＝1，即 a ＝2 b ² .
又 e ＝ ＝ ，所以 a ＝2， b ＝1.所以椭圆 C 的方程为 ＋ y ² ＝1.
(2)设 P ( x ₀ ， y ₀ )( y ₀ ≠0)，又 F ₁ (－ ，0)， F ₂ ( ，0)，
知 ，
直线 l 的方程为 y － y ₀ ＝ k ( x － x ₀ )．联立得
整理得(1＋4 k ² ) x ² ＋8( ky ₀ － k ² x ₀ ) x ＋4( －2 kx ₀ y ₀ ＋ k ² －1)＝0.
由题意 Δ ＝0，即(4－ ) k ² ＋2 x ₀ y ₀ k ＋1－ ＝0.
又 ＋ ＝1，
所以16 k ² ＋8 x ₀ y ₀ k ＋ ＝0，故 k ＝－ .
所以 ＋ ＝ ＝ · ＝－8，
因此 ＋ 为定值，这个定值为－8