设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左右焦点是F1，F2双曲线上存在点P使离心率e=sin∠PF2F1sin∠PF1F2，则离心率e的取值范围是．

Question

设双曲线 (x2)/(a2)- (y2)/(b2)=1(a>0，b>0)的左右焦点是F₁，F₂双曲线上存在点P使离心率e= (sin∠PF2F1)/(sin∠PF1F2)，则离心率e的取值范围是___．

Answer 1

不妨设P（x，y）在右支曲线上，此时x≥a，
∵e=(sin∠PF2F1)/(sin∠PF1F2)=(c)/(a)，
∴(sin∠PF1F2)/(sin∠PF2F1)=(a)/(c)，
由正弦定理得(sin∠PF1F2)/(sin∠PF2F1)=(PF2)/(PF1)=(a)/(c)，
∵双曲线第二定义得：|PF₁|=a+ex，|PF₂|=ex-a，
∴(ex-a)/(ex+a)=(a)/(c)，
∴x=(a(a+c))/(ec-ea)≥a，
分子分母同时除以a，得：(a+c)/(e2-e)≥a，
∴(1+e)/(e2-e)≥1解得1≤e≤√(2)+1，又e>1，
故离心率e的取值范围是（1，√(2)+1]，
故答案为：（1，√(2)+1]．