设椭圆的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点。（1）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞。

Question

设椭圆 的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点。
（1）若直线AP与BP的斜率之积为 ，求椭圆的离心率；
（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞ 。

Answer 1

设椭圆 的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点。
（1）若直线AP与BP的斜率之积为 ，求椭圆的离心率；
（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞ 。

（1）设P（x ₀ ，y ₀ ），
∴ ①
∴椭圆 的左右顶点分别为A，B，
∴A（-a，0），B（a，0）
∴ ，
∵直线AP与BP的斜率之积为 ，
∴
代入①并整理得
∵y ₀ ≠0，
∴a ² =2b ²
∴
∴
∴椭圆的离心率为 ；
（2）依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x ₀ ，kx ₀ ），
∴
∵a＞b＞0，kx ₀ ≠0，
∴
∴ ②
∵|AP|=|OA|，A（-a，0），
∴
∴
∴ 代入②得
∴k ² ＞3
∴直线OP的斜率k满足|k|＞ 。