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设椭圆的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点。（1）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞。
题目详情
设椭圆 的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点。（1）若直线AP与BP的斜率之积为  ，求椭圆的离心率；（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞  。 |
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答案和解析
设椭圆 的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点。（1）若直线AP与BP的斜率之积为  ，求椭圆的离心率；（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞  。 |
| （1）设P（x 0 ，y 0 ）， ∴  ①∴椭圆  的左右顶点分别为A，B，∴A（-a，0），B（a，0） ∴  ， ∵直线AP与BP的斜率之积为  ，∴  代入①并整理得  ∵y 0 ≠0， ∴a 2 =2b 2 ∴  ∴  ∴椭圆的离心率为  ；（2）依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x 0 ，kx 0 ）， ∴  ∵a＞b＞0，kx 0 ≠0， ∴  ∴  ②∵|AP|=|OA|，A（-a，0）， ∴  ∴  ∴  代入②得 ∴k 2 ＞3 ∴直线OP的斜率k满足|k|＞  。 |
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