（2014•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，已知过点(1，32)的椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），过焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，点B关于坐标原点的对称

Question

（2014•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，已知过点(1，(3)/(2))的椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），过焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，点B关于坐标原点的对称点为P，直线PA，PB分别交椭圆C的右准线l于M，N两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点B的坐标为((8)/(5)，(3√(3))/(5))，试求直线PA的方程；
（3）记M，N两点的纵坐标分别为y_M，y_N，试问y_M•y_N是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）如图所示，∵过点(1，(3)/(2))的椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），
∴

(1)/(a2)+(9)/(4b2)＝1

c＝1

a2＝b2+c2

，解得c=1，b²=3，a²=4．
∴椭圆C的标准方程为：(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1．
（2）∵点B的坐标为((8)/(5)，(3√(3))/(5))，点P与点B关于坐标原点对称．∴P(−(8)/(5)，−(3√(3))/(5))．
可得k_BF=

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作业帮用户 2016-11-17

问题解析

（1）如图所示，由于过点(1，(3)/(2))的椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），可得

(1)/(a2)+(9)/(4b2)＝1

c＝1

a2＝b2+c2

，解得即可．
（2）由点B的坐标为((8)/(5)，(3√(3))/(5))，点P与点B关于坐标原点对称，可得P(−(8)/(5)，−(3√(3))/(5))．利用斜率计算公式可得k_BF．即可得到直线BF的方程y＝√(3)(x−1)．与椭圆的方程联立解得x_A．进而得到直线PA的方程．
（3）椭圆C的右准线l为：x＝(a2)/(c)=4．当直线AB⊥x轴时，B（1，(3)/(2)），A(1，−(3)/(2))，P(−1，−(3)/(2))．即可得到直线PB的方程，直线PA的方程，即可得到y_M•y_N．当直线AB的斜率存在时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．则P（-x₂，-y₂）．可得直线PB的方程为：y＝(y2)/(x2)x，与x=4联立，解得y_N=(4y2)/(x2)．设直线AB的方程为：y=k（x-1）．直线PA的方程为：k_PA=(y1+y2)/(x1+x2)．由(x21)/(4)+(y21)/(3)＝1，(x22)/(4)+(y22)/(3)＝1，两式相减得((x1+x2)(x1−x2))/(4)+((y1+y2)(y1−y2))/(3)=0．得到(3)/(4)+kPA•kAB＝0，即kPA＝−(3)/(4k)．得到直线PA的方程为：y+y2＝−(3)/(4k)(x+x2)．联立直线PA与l的方程

x＝4

y+y2＝−(3)/(4k)(x+x2)

，解得y_M．进而得到y_M•y_N．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．

考点点评：

本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立、点与椭圆的位置关系、斜率计算公式直线的点斜式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

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