已知△ABC是正三角形PA⊥平面ABC且PA=AB=a求二面角A-PC-B的大小.图2-3-12

Question

已知△ABC是正三角形 PA⊥平面ABC 且PA=AB=a 求二面角A-PC-B的大小.

图2-3-12

Answer 1

思路分析:要求二面角的大小 首先要在图形中构造出二面角的平面角 然后利用其平面角度量二面角的大小.过棱上一点 分别在两个面内作或证棱的垂线 即可产生二面角的平面角 要充分利用三角函数定义求得具体值.

解:取AC的中点M 连结BM 作MN⊥PC于N 连结BN(如图2-3-12).

∵PA⊥平面ABC ∴平面PAC⊥平面ABC.

易证BM⊥AC AC=平面PAC∩平面ABC.

∴BM⊥平面PAC(面面垂直的性质).

∵MN⊥PC ∴NB⊥PC.

∴∠MNB是二面角A-PC-B的平面角.

易知MN= a BM= a.

∴tan∠MNB= .∴∠MNB=arctan 即二面角A-PC-B的大小为arctan .

  绿色通道:度量二面角的大小是通过其平面角进行 所以在图形中构造出二面角的平面角 就能将空间问题转化为平面问题 利用直角三角形中 锐角三角函数定义 有些问题也可用斜三角形中的直角三角形加以处理.求α-l-β的二面角时 通常在其中的一个半平面内找一点A 作另一个半平面的垂线 垂足为B 然后过A(或B)作l的垂线 垂足为C 连结BC(或AC) 则∠ACB即为所求.