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已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,上底面是斜边为AC的直角三角形,E、F分别是A1B、AC1的中点.(1)求证:EF∥平面ABC;(2)求证:平面AEF⊥平面AA1B1B.
题目详情
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,上底面是斜边为AC的直角三角形,E、F分别是A1B、AC1的中点.
(1)求证:EF∥平面ABC;
(2)求证:平面AEF⊥平面AA1B1B.
(1)求证:EF∥平面ABC;
(2)求证:平面AEF⊥平面AA1B1B.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)连接A1C,直三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1C1C是矩形,
所以点F在A1C上,且F为A1C的中点,
在△A1BC中,E、F分别是A1B、AC1的中点,
所以EF∥BC;
又EF⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,
所以EF∥平面ABC;
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,
所以BB1⊥BC,
因为EF∥BC,
所以BB1⊥EF;
又底面是斜边为AC的直角三角形,故AB⊥BC,
所以EF⊥AB,
又BB1∩AB=B,
所以EF⊥平面AA1B1B,
又EF⊂平面AEF,
所以平面AEF⊥平面AA1B1B.
所以点F在A1C上,且F为A1C的中点,
在△A1BC中,E、F分别是A1B、AC1的中点,
所以EF∥BC;
又EF⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,
所以EF∥平面ABC;
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,
所以BB1⊥BC,
因为EF∥BC,
所以BB1⊥EF;
又底面是斜边为AC的直角三角形,故AB⊥BC,
所以EF⊥AB,
又BB1∩AB=B,
所以EF⊥平面AA1B1B,
又EF⊂平面AEF,
所以平面AEF⊥平面AA1B1B.
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