早教吧作业答案频道 -->其他-->
已知函数f(x)=x2eax.(Ⅰ)当a=1时,求f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅲ)若f(x)在(1,+∞)单调递增,求a的取值范围.
题目详情
已知函数f(x)=x2eax.
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若f(x)在(1,+∞)单调递增,求a的取值范围.
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若f(x)在(1,+∞)单调递增,求a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)当 a=1时,f(x)=x2ex,f′(x)=(x2)′ex+x2(ex)′=2xex+x2ex=(2x+x2)ex
∴f′(1)=3e,f(1)=e,
∴切线方程为y-e=3e(x-1),即3ex-y-2e=0…(4分)
(Ⅱ)f′(x)=(x2)′eax+x2(eax)′=2xeax+ax2eax=x(ax+2)eax…(5分)
(1)当a=0时,f′(x)=2x,当x>0时,f′(x)>0,当x<0时,f′(x)<0,
∴单调增区间为(0,+∞),单调减区间为(-∞,0)…(6分)
当a≠0时,令f′(x)=0,得x1=0或x2=−
…(7分)
(2)当a>0时,0>−
,
当x<−
时,f′(x)>0,当−
<x<0时,f′(x)<0,当x>0时,f′(x)>0,
单调增区间为(−∞,−
),(0,+∞),单调减区间为(−
,0)…(9分)
(3)当a<0时,0<−
,当x>−
时,f′(x)<0,当0<x<−
时,f′(x)>0,当x<0时,f′(x)<0,
∴f(x)的单调增区间是(0,−
),单调减区间是(-∞,0),(−
,+∞) …(11分)
综上:当a=0时,单调增区间为(0,+∞),单调减区间为(-∞,0)
当a>0时,单调增区间为(−∞,−
),(0,+∞),单调减区间为(−
,0)
当a<0时,f(x)的单调增区间是(0,−
),单调减区间是(-∞,0),(−
,+∞)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)单调递增,满足条件; …(12分)
当a<0时,单调增区间为(0,−
)与f(x)在(1,+∞)单调递增不符 …(13分)
综上:a≥0 …(14分)
∴f′(1)=3e,f(1)=e,
∴切线方程为y-e=3e(x-1),即3ex-y-2e=0…(4分)
(Ⅱ)f′(x)=(x2)′eax+x2(eax)′=2xeax+ax2eax=x(ax+2)eax…(5分)
(1)当a=0时,f′(x)=2x,当x>0时,f′(x)>0,当x<0时,f′(x)<0,
∴单调增区间为(0,+∞),单调减区间为(-∞,0)…(6分)
当a≠0时,令f′(x)=0,得x1=0或x2=−
2 |
a |
(2)当a>0时,0>−
2 |
a |
当x<−
2 |
a |
2 |
a |
单调增区间为(−∞,−
2 |
a |
2 |
a |
(3)当a<0时,0<−
2 |
a |
2 |
a |
2 |
a |
∴f(x)的单调增区间是(0,−
2 |
a |
2 |
a |
综上:当a=0时,单调增区间为(0,+∞),单调减区间为(-∞,0)
当a>0时,单调增区间为(−∞,−
2 |
a |
2 |
a |
当a<0时,f(x)的单调增区间是(0,−
2 |
a |
2 |
a |
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)单调递增,满足条件; …(12分)
当a<0时,单调增区间为(0,−
2 |
a |
综上:a≥0 …(14分)
看了 已知函数f(x)=x2eax...的网友还看了以下:
1、已知函数f(x)的定义域是[0,1]。求f(x-2),f(x-1),f(2x-2)的定义域。变 2020-05-17 …
一个关于求导数的答案不明白的地方求f(x)=2x^2+x-1(x>0)的反函数在x=2处的切线的斜 2020-06-06 …
设常数a∈R,函数f(x)=(a-x)|x|.(Ⅰ)若a=1,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若f(x 2020-06-12 …
已知二次函数F(x)=ax^2+bx,若函数f(x)的最小值为f(-1)=-1,F(x)=f(x) 2020-07-13 …
已知fx是定义在实数集R上的奇函数,且当x大于0时fx=x^2-4x+31,求f[f(-已知fx是定 2020-11-07 …
求证一道求逆函数的题原题是这样的函数f(x)=3x^2-4(x>=0),回答以下问题1.求f(x)的 2020-11-20 …
已知函数f(x)=ax^2+bx+c(c≠0),满足f(-1)=f(3)=0,且f(0)=6,求f( 2020-12-08 …
已知函数y=f(x)是定义在0到正无穷上的减函数,且满足f(x.y)=f(x)+f(y),f(2\1 2020-12-08 …
急!高一“函数的概念”中的几道题目.1.已知函数f(x+1)=X^2-4x+1,求f(x)2.[变式 2020-12-08 …
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,fx)=x2-2x求f(0及f(1)的值求已知函 2020-12-27 …