已知a＞0，函数f(x)=lnx-ax2，x＞0，（f(x)的图像连续不断）（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）当时，证明：存在x0∈(2，+∞)，使；（Ⅲ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β-α≥1，使f(

Question

已知a＞0，函数f(x)=lnx-ax ² ，x＞0，（f(x)的图像连续不断）
（Ⅰ）求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）当 时，证明：存在x ₀ ∈(2，+∞)，使 ；
（Ⅲ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β-α≥1，使f(α)=f(β)，证明： ．

Answer 1

（Ⅰ） ，
令f′(x)=0，解得 ，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

所以，f(x)的单调递增区间是 ，f(x)的单调递减区间是 。
（Ⅱ）证明：当 时， ，
由（Ⅰ）知f(x)在（0，2）内单调递增，在(2，+∞)内单调递减，
令 ，
由于f(x)在（0，2）内单调递增，
故 ，即g（2）＞0，
取 ，则 ，
所以存在 ，使 ，
即存在 ，使 。
（Ⅲ）证明：由f(α)=f(β)及（Ⅰ）的结论知 ，
从而f(x)在[α，β]上的最小值为f（a），
又由β-α≥1，α，β∈[1，3]，知 ，
故 ，即 ，
从而 。