给定线性方程组x1+a1x2+a12x3＝a13x1+a2x2+a22x3＝a23x1+a3x2+a32x3＝a33x1+a4x2+a42x3＝a43（1），当a1，a2，a3，a4满足什么条件时，方程组（1）有惟一解？无穷多解？无解？

Question

给定线性方程组

x1+a1x2+a12x3＝a13

x1+a2x2+a22x3＝a23

x1+a3x2+a32x3＝a33

x1+a4x2+a42x3＝a43

（1），当a₁，a₂，a₃，a₄满足什么条件时，方程组（1）有惟一解？无穷多解？无解？

Answer 1

由于

.

A

＝

1	a1	a12	a13
1	a2	a22	a23
1	a3	a32	a33
1	a4	a42	a43

，其行列式是范德蒙行列式，因此
|

.

A

|＝

π

1≤i＜j≤4

(ai−aj)
∴①若a_i≠a_j（1≤i＜j≤4），即a₁，a₂，a₃，a₄满足互不相等时，r(

.

A

)＝4；
此时，系数矩阵前三行前三列也构成一个范德蒙行列式，也不为零
因此r（A）=3
∴r(A)＜r(

.

A

)
∴方程组（1）无解；
②若a_i=a_j（1≤i＜j≤4），即a₁=a₂=a₃=a₄时，此时

.

A

由于r(A)＝r(

.

A

)＝1＜3，因而
线性方程组