若有穷数列{an}满足条件a1=an，a2=an-1，…，an=a1，即ai=an-i+1（i=1，2，…，n），则称数列{an}为“对称数列”．例如，数列1，2，3，2，1与数列4，2，1，1，2，4都是“对称数

Question

若有穷数列{a _n } 满足条件a ₁ =a _n ，a ₂ =a _n-1 ，…，a _n =a ₁ ，即a _i =a _n-i+1 （i=1，2，…，n），则称数列{a _n } 为“对称数列”．例如，数列1，2，3，2，1与数列4，2，1，1，2，4都是“对称数列”．
（Ⅰ）设{b _n }是21项的“对称数列”，其中b ₁ ，b ₂ ，…，b ₁₁ 是等比数列，且b ₂ =2，b ₅ =16，求{b _n }的所有项的和S；
（Ⅱ）设{c _n }是22项的“对称数列”，其中c ₁₂ ，c ₁₃ ，…，c ₂₂ 是首项为22，公差为-2的等差数列，求{c _n }的前n项和T _n （1≤n≤22，n∈N ^* ）．

Answer 1

（Ⅰ）设数列b _n 的公比为q，则b ₅ =b ₂ q ³ =2q ³ =16，解得q=2，
S=b ₁ +b ₂ +..+b ₂₁ =2（b ₁ +b ₂ ++b ₁₁ ）-b ₁₁ =2（1+2+2 ² ++2 ¹⁰ ）-2 ¹⁰ =2（2 ¹¹ -1）-2 ¹⁰ =3070．（6分）
（Ⅱ）∵数列c _n 是“对称数列”，其中c ₁₂ ，c ₁₃ ，，c ₂₂ 是首项为22，公差为-2的等差数列，
∴c ₂₂ =22-2×10=2，∴c ₁ ，c ₂ ，，c ₁₁ 是首项为2，公差为2的等差数列．
当1≤n≤11时，T _n =c ₁ +c ₂ +…+c _n = 2n+(n(n-1))/(2) •2= n 2 +n ，
当12≤n≤22时，T _n =c ₁ +c ₂ +..+c _n =T ₁₁ +（c ₁₂ +c ₁₃ ++c _n ）= 132+22•(n-11)+((n-11)(n-12))/(2) ×(-2) =-n ² +45n-242，
综上所述， T n =

n 2 +n，1≤n≤11.   

- n 2 +45n-242，12≤n≤22

（13分）