设f（x）=xlnx-ax2+（2a-1）x，a∈R．（Ⅰ）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；（Ⅱ）已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．

Question

设f（x）=xlnx-ax²+（2a-1）x，a∈R．
（Ⅰ）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=xlnx-ax²+（2a-1）x，
∴g（x）=f′（x）=lnx-2ax+2a，x>0，
g′（x）=(1)/(x)-2a=(1-2ax)/(x)，
当a≤0，g′（x）>0恒成立，即可g（x）的单调增区间是（0，+∞）；
当a>0，当x>(1)/(2a)时，g′（x）<0，函数为减函数，
当0<x<(1)/(2a)，g′（x）>0，函数为增函数，
∴当a≤0时，g（x）的单调增区间是（0，+∞）；
当a>0时，g（x）的单调增区间是（0，(1)/(2a)），单调减区间是（(1)/(2a)，+∞）；
（Ⅱ）∵f（x）在x=1处取得极大值，∴f′（1）=0，
①当a≤0时，f′（x）单调递增，
则当0<x<1时，f′（x）<0，f（x）单调递减，
当x>1时，f′（x）>0，f（x）单调递增，∴f（x）在x=1处取得极小值，不合题意，
②当0<a<(1)/(2)时，(1)/(2a)>1，由（1）知，f′（x）在（0，(1)/(2a)）内单调递增，
当0<x<1时，f′（x）<0，当1<x<(1)/(2a)时，f′（x）>0，
∴f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，(1)/(2a)）内单调递增，即f（x）在x=1处取得极小值，不合题意．
③当a=(1)/(2)时，(1)/(2a)=1，f′（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
则当x>0时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意．
④当a>(1)/(2)时，0<(1)/(2a)<1，
当(1)/(2a)<x<1时，f′（x）>0，f（x）单调递增，当x>1时，f′（x）<0，f（x）单调递减，
∴当x=1时，f（x）取得极大值，满足条件．
综上实数a的取值范围是a>(1)/(2)．