已知函数f（x）=x-mex（m∈R，e为自然对数的底数）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）≤e2x对∀x∈R恒成立，求实数m的取值范围；（3）设x1，x2（x1≠x2）是函数f（x）的两个两点，求

Question

已知函数f（x）=x-me^x（m∈R，e为自然对数的底数）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）≤e^2x对∀x∈R恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设x₁，x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）的两个两点，求证x₁+x₂>2．

Answer 1

（1） f′（x）=1-me^x．
当m≤0时，f′（x）>0，函数f（x）为（-∞，+∞）上的增函数；
当m>0时，由f′（x）>0，得x<-lnm，∴f（x）在（-∞，-lnm）上为增函数；
由f′（x）<0，得x>-lnm，∴f（x）在（-lnm，+∞）上为减函数；
（2） f（x）≤e^2x⇔m≥(x)/(ex)-ex，
设g（x）=(x)/(ex)-ex，则g′（x）=(1-e2x-x)/(ex)，
当x<0时，1-e^2x>0，g′（x）>0，则g（x）在（-∞，0）上单调递增；
当x>0时，1-e^2x<0，g′（x）<0，则g（x）在（0，-∞）上单调递减．
∴g（x）_max=g（0）=-1，则m≥-1；
（3）证明：f（x）有两个不同零点x₁，x₂，则x1=mex1，x2=mex2，
因此x1-x2=m(ex1-ex2)，即m=(x1-x2)/(ex1-ex2)．
要证x₁+x₂>2，只要证明m(ex1+ex2)>2，即证(x1-x2)(ex1+ex2)/(ex1-ex2)>2．
不妨设x₁>x₂，记t=x₁-x₂，则t>0，e^t>1，
因此只要证明t•(et+1)/(et-1)>2，即（t-2）e^t+t+2>0．
记h（t）=（t-2）e^t+t+2（t>0），h′（t）=（t-1）e^t+1，h″（t）=te^t．
当t>0时，h″（t）=te^t>0，∴h′（t）>h′（0）=0，
则h（t）在（0，+∞）上单调递增，∴h（t）>h（0）=0，
即（t-2）e^t+t+2>0成立．
∴x₁+x₂>2．