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已知函数f(x)=(ax2+x)ex在[-1,1]上是单调增函数,其中e是自然对数的底数,求a的取值范围.
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已知函数f(x)=(ax2+x)ex在[-1,1]上是单调增函数,其中e是自然对数的底数,求a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
由f(x)=(ax2+x)ex,得
f′(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x)ex=[ax2+(2a+1)x+1]ex,
①当a=0时,f′(x)=(x+1)ex,f′(x)≥0在[-1,1]上恒成立,
当且仅当x=-1时取等号,故a=0符合要求;
②当a≠0时,令g(x)=ax2+(2a+1)x+1,
因为△=(2a+1)2-4a=4a2+1>0,
所以g(x)有两个不相等的实数根x1,x2,不妨设x1>x2,
因此f(x)有极大值又有极小值.
若a>0,因为g(-1)g(0)=-a<0,
所以f(x)在(-1,1)内有极值点,
故f(x)在[-1,1]上不单调.
若a<0,可知x1>0>x2,因为g(x)的图象开口向下,要使f(x)在[-1,1]上单调,
因为g(0)=1>0,必须满足
,即
,所以−
≤a<0.
综上可知,a的取值范围是[−
,0].
f′(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x)ex=[ax2+(2a+1)x+1]ex,
①当a=0时,f′(x)=(x+1)ex,f′(x)≥0在[-1,1]上恒成立,
当且仅当x=-1时取等号,故a=0符合要求;
②当a≠0时,令g(x)=ax2+(2a+1)x+1,
因为△=(2a+1)2-4a=4a2+1>0,
所以g(x)有两个不相等的实数根x1,x2,不妨设x1>x2,
因此f(x)有极大值又有极小值.
若a>0,因为g(-1)g(0)=-a<0,
所以f(x)在(-1,1)内有极值点,
故f(x)在[-1,1]上不单调.
若a<0,可知x1>0>x2,因为g(x)的图象开口向下,要使f(x)在[-1,1]上单调,
因为g(0)=1>0,必须满足
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综上可知,a的取值范围是[−
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