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已知函数f(x)=ex+ax-1(e为自然对数的底数).(Ⅰ)当a=1时,求过点(1,f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积;(Ⅱ)若f(x)≥x2在(0,1)上恒成立,求实数a的取值范围.

题目详情
已知函数f(x)=ex+ax-1(e为自然对数的底数).
(Ⅰ)当a=1时,求过点(1,f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积;
(Ⅱ)若f(x)≥x2在(0,1 )上恒成立,求实数a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(I)当a=1时,f(x)=ex+x-1,f(1)=e,f'(x)=ex+1,f'(1)=e+1,
函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=(e+1)(x-1),即y=(e+1)x-1,
设切线与x轴、y轴的交点分别为A、B,
∴A(
1
e+1
,0),B(0,-1),
S△OAB=
1
2
×
1
e+1
×1=
1
2(e+1)

∴过点(1,f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
1
2(e+1)

(II)由f(x)≥x2a≥
1+x2−ex
x

令h(x)=
1+x2−ex
x
1
x
+x−
ex
x
h′(x)=1−
1
x2
ex(x−1)
x2
(x−1)(x+1−ex)
x2

令k(x)=x+1-ex…(6分)k'(x)=1-ex
∵x∈(0,1),∴k'(x)<0,
∴k(x)在(0,1)上是减函数,∴k(x)<k(0)=0.
因为x-1<0,x2>0,所以h′(x)=
(x−1)(x+1−ex)
x2
>0,
∴h(x)在(0,1)上是增函数.
所以h(x)<h(1)=2-e,所以a≥2-e…(12分)