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已知函数f(x)=ex-aex(a∈R,e是自然对数的底数).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当x∈R时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.
题目详情
已知函数f(x)=ex-aex(a∈R,e是自然对数的底数).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当x∈R时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当x∈R时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)由f(x)=ex-eax,得f'(x)=ex-ea.
当a≤0时,f'(x)=ex-ea>0,则f(x)在R上为增函数;
当a>0时,由f'(x)=ex-ea=ex-e1+lna=0,解得x=1+lna.
当x<1+lna时,f'(x)<0;当x>1+lna时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,1+lna)上为减函数,
在(1+lna,+∞)上为增函数.
(2)结合(1),得:
当a<0时,设a<-1,则f(2a)=e2x-ea•2a=e2x-2ea2<0,
这与“当x∈R时,f(x)≥0恒成立”矛盾,此时不适合题意.
当a=0时,f(x)=ex,满足“当x∈R时,f(x)≥0恒成立”.
当a>0时,f(x)的极小值点,也是最小值点,
即f(x)min=f(1+lna)=e1+lna-ea(1+lna)=-ealna,
由f(x)≥0,得-ealna≥0,解得0<a≤1.
综上,a的取值范围是[0,1].
当a≤0时,f'(x)=ex-ea>0,则f(x)在R上为增函数;
当a>0时,由f'(x)=ex-ea=ex-e1+lna=0,解得x=1+lna.
当x<1+lna时,f'(x)<0;当x>1+lna时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,1+lna)上为减函数,
在(1+lna,+∞)上为增函数.
(2)结合(1),得:
当a<0时,设a<-1,则f(2a)=e2x-ea•2a=e2x-2ea2<0,
这与“当x∈R时,f(x)≥0恒成立”矛盾,此时不适合题意.
当a=0时,f(x)=ex,满足“当x∈R时,f(x)≥0恒成立”.
当a>0时,f(x)的极小值点,也是最小值点,
即f(x)min=f(1+lna)=e1+lna-ea(1+lna)=-ealna,
由f(x)≥0,得-ealna≥0,解得0<a≤1.
综上,a的取值范围是[0,1].
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