（2013•钦州）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=12x2+2x与x轴相交于O、B，顶点为A，连接OA．（1）求点A的坐标和∠AOB的度数；（2）若将抛物线y=12x2+2x向右平移4个单位，再向

Question

（2013•钦州）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=(1)/(2)x²+2x与x轴相交于O、B，顶点为A，连接OA．
（1）求点A的坐标和∠AOB的度数；
（2）若将抛物线y=(1)/(2)x²+2x向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线m，其顶点为点C．连接OC和AC，把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′．试判断其形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，判断点C′是否在抛物线y=(1)/(2)x²+2x上，请说明理由；
（4）若点P为x轴上的一个动点，试探究在抛物线m上是否存在点Q，使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，且OC为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵由y=(1)/(2)x²+2x得，y=(1)/(2)（x+2）²-2，
∴抛物线的顶点A的坐标为（-2，-2），
令(1)/(2)x²+2x=0，解得x₁=0，x₂=-4，
∴点B的坐标为（-4，0），
过点A作AD⊥x轴，垂足为D，
∴∠ADO=90°，
∴点A的坐标为（-2，-2），点D的坐标为（-2，0），
∴OD=AD=2，
∴∠AOB=45°；

（2）四边形ACOC′为菱形．
由题意可知抛物线m的二次项系数为(1)/(2)，且过顶点C的坐标是（2，-4），
∴抛物线的解析式为：y=(1)/(2)（x-2）²-4，即y=(1)/(2)x²-2x-2，
过点C作CE⊥x轴，垂足为E；过点A作AF⊥CE，垂足为F，与y轴交与点H，
∴OE=2，CE=4，AF=4，CF=CE-EF=2，
∴OC=√(OE2+EC2)=√(22+42)=2√(5)，
同理，AC=2√(5)，OC=AC，
由翻折不变性的性质可知，OC=AC=OC′=AC′，
故四边形ACOC′为菱形．

（3）如图1，点C′不在抛物线y=(1)/(2)x²+2x上．
理由如下：
过点C′作C′G⊥x轴，垂足为G，
∵OC和OC′关于OA对称，∠AOB=∠AOH=45°，
∴∠COH=∠C′OG，
∵CE∥OH，
∴∠OCE=∠C′OG，
又∵∠CEO=∠C′GO=90°，OC=OC′，
∴△CEO≌△C′GO，
∴OG=CE=4，C′G=OE=2，
∴点C′的坐标为（-4，2），
把x=-4代入抛物线y=(1)/(2)x²+2x得y=0，
∴点C′不在抛物线y=(1)/(2)x²+2x上；

（4）存在符合条件的点Q．
∵点P为x轴上的一个动点，点Q在抛物线m上，
∴设Q（a，(1)/(2)（a-2）²-4），
∵OC为该四边形的一条边，
∴OP为对角线，
∴((1)/(2)(a−2)2−4−4)/(2)=0，解得a₁=6，a₂=-2，
∴点Q的坐标为（6，4）或（-2，4）．