（理科）已知函数f（x）=（1+x）2-2ln（1+x）．（1）若存在x0∈[0，1]使不等式f（x0）-m≤0能成立，求实数m的最小值；（2）若关于x的方程f（x）=x2+x+a在[0，2]上恰有两个相异实根，求实数a的取

Question

（理科）已知函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（1）若存在x₀∈[0，1]使不等式f（x₀）-m≤0能成立，求实数m的最小值；
（2）若关于x的方程f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）要存在x₀∈[0，1]使得不等式f（x₀）-m≤0能成立，只需x∈[0，1]时，m≥f（x）_min．
求导得f′（x）=2（1+x）-(2)/(1+x)，定义域为（-1，+∞），
∵当x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在区间（-1，0）上是减函数；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
∴f（x）_min=f（0）=1，∴m≥1．故实数m的最小值为1．
（2）关于x的方程f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰有两个相异实根，即方程1+x-2ln（1+x）=a在区间[0，2]上恰有两个相异实根．
设h（x）=（1+x）-2ln（1+x），则h′（x）=(x−1)/(x+1)
由h′（x）＞0，得x＞1或x＜-1（舍去）；由h′（x）＜0，得-1＜x＜1．
∴h（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增．
∵h（　　）＞h（2），且h（x）在[0，2]上连续
∴方程1+x-2ln（1+x）=a在区间[0，2]上恰有两个相异实根时，h（1）＜a≤h（2）
∴2-2ln2＜a≤3-2ln3，
∴实数a的取值范围是（2-2ln2，3-2ln3）．