数学一元二次方程已知k为整数,若关于x的一元二次方程kx²+(2k+3)x+1=0有有理数根,求k的值.

Question

数学一元二次方程
已知k为整数,若关于x的一元二次方程kx²+(2k+3)x+1=0有有理数根,求k的值.

Answer 1

LZ不要听xfh13579的,请xfh13579别误人子弟.
对于kx^2+(2k+3)x+1=0有有理根,这意味着△=b^2,且b是整数.
又因为△=4k^2+8k+9,所以4k^2+8k+9-b^2=0,这条方程解为整数同样意味着
判别式为一整数的平方（请LZ谅解,毕竟方法很繁杂）
算出其△=64-16(9-b^2),把16排到根号外以简洁,
原式就变成了b^2-5,令其等于q^2,且q为整数.
因式分解有(b+q)(b-q)=5,分析5的约数有1,5,-1,-5,
当b+q=1时,b-q=5,解得b=3,解得k=0或-2.同理可解得b=-3,但k一样.
所以当k=0时,x=-1/3,当k=-2时,x=-1或0.5.
但题目说是关于x的一元二次方程,所以仅有k=-2.所以xfh13579既过程答错,又答案给错.
xfh13579的方法殊有纰漏,所谓有理根并不是整根的意思,况且为什么要把它写成完全平方式?