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从数列{an}中取出部分项,并将它们按原来的顺序组成一个数列,称之为数列{an}的一个子数列.设数列{an}是一个首项为a1、公差为d(d≠0)的无穷等差数列.(1)若a1,a2,a5成等比数列,求
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从数列{an}中取出部分项,并将它们按原来的顺序组成一个数列,称之为数列{an}的一个子数列.设数列{an}是一个首项为a1、公差为d(d≠0)的无穷等差数列.
(1)若a1,a2,a5成等比数列,求其公比q.
(2)若a1=7d,从数列{an}中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项,试问该数列是否为{an}的无穷等比子数列,请说明理由.
(3)若a1=1,从数列{an}中取出第1项、第m(m≥2)项(设am=t)作为一个等比数列的第1项、第2项,试问当且仅当t为何值时,该数列为{an}的无穷等比子数列,请说明理由.
(1)若a1,a2,a5成等比数列,求其公比q.
(2)若a1=7d,从数列{an}中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项,试问该数列是否为{an}的无穷等比子数列,请说明理由.
(3)若a1=1,从数列{an}中取出第1项、第m(m≥2)项(设am=t)作为一个等比数列的第1项、第2项,试问当且仅当t为何值时,该数列为{an}的无穷等比子数列,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题设,得a22=a1a5,即(a1+d)2=a1(a1+4d),得d2=2a1d,又d≠0,
于是d=2a1,故其公比.
(2)设等比数列为{bm},其公比,,
由题设an=a1+(n-1)d=(n+6)d.
假设数列{bm}为{an}的无穷等比子数列,
则对任意自然数m(m≥3),都存在n∈N*,使an=bm,
即,
得,
当m=5时,,与假设矛盾,
故该数列不为{an}的无穷等比子数列.
(3)①设{an}的无穷等比子数列为{br},其公比(t≠1),得br=tr-1,
由题设,在等差数列{an}中,,,
因为数列{br}为{an}的无穷等比子数列,
所以对任意自然数r(r≥3),都存在n∈N*,使an=br,
即,
得,
由于上式对任意大于等于3的正整数r都成立,且n,m-1均为正整数,
可知tr-2+tr-3+t+1必为正整数,
又d≠0,
故t是大于1的正整数.
②再证明:若t是大于1的正整数,则数列{an}存在无穷等比子数列.
即证明无穷等比数列{br}中的每一项均为数列{an}中的项.
在等比数列{br}中,br=tr-1,
在等差数列{an}中,,,
若br为数列{an}中的第k项,则由br=ak,得,
整理得,
由t,m-1均为正整数,得k也为正整数,
故无穷等比数列{br}中的每一项均为数列{an}中的项,得证.
综上,当且仅当t是大于1的正整数时,数列{an}存在无穷等比子数列.
于是d=2a1,故其公比.
(2)设等比数列为{bm},其公比,,
由题设an=a1+(n-1)d=(n+6)d.
假设数列{bm}为{an}的无穷等比子数列,
则对任意自然数m(m≥3),都存在n∈N*,使an=bm,
即,
得,
当m=5时,,与假设矛盾,
故该数列不为{an}的无穷等比子数列.
(3)①设{an}的无穷等比子数列为{br},其公比(t≠1),得br=tr-1,
由题设,在等差数列{an}中,,,
因为数列{br}为{an}的无穷等比子数列,
所以对任意自然数r(r≥3),都存在n∈N*,使an=br,
即,
得,
由于上式对任意大于等于3的正整数r都成立,且n,m-1均为正整数,
可知tr-2+tr-3+t+1必为正整数,
又d≠0,
故t是大于1的正整数.
②再证明:若t是大于1的正整数,则数列{an}存在无穷等比子数列.
即证明无穷等比数列{br}中的每一项均为数列{an}中的项.
在等比数列{br}中,br=tr-1,
在等差数列{an}中,,,
若br为数列{an}中的第k项,则由br=ak,得,
整理得,
由t,m-1均为正整数,得k也为正整数,
故无穷等比数列{br}中的每一项均为数列{an}中的项,得证.
综上,当且仅当t是大于1的正整数时,数列{an}存在无穷等比子数列.
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