如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD相交于点E，∠ADB=∠ACB．（1）求证：AD2=AE•AC；（2）若AB⊥AC，CE=2AE，F是BC的中点，连接AF，判断△ABF的形状，并说明理由．

Question

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD相交于点E，∠ADB=∠ACB．

（1）求证：AD²=AE•AC；
（2）若AB⊥AC，CE=2AE，F是BC的中点，连接AF，判断△ABF的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACB，
∵∠BAE=∠CAB，
∴△BAE∽△CAB，
∴(AB)/(AC)=(AE)/(AB)，即AB²=AC•AE，
∵AB=AD，
∴AD²=AC•AE；
（2）△ABF为等边三角形，理由为：
证明：设AE=x，则CE=2AE=2x，
∵AB²=AC•AE，
∴AB²=x（x+2x）=3x²，
∴AB=√(3)x，
∵AB⊥AC，
∴BC=√(AB2+AC2)=2√(3)x，
∵F为BC的中点，
∴BF=AB=√(3)x，
∵AB⊥AC，F为BC的中点，
∴AF=BF=CF，
∴AF=BF=AB，
则△ABF为等边三角形．