在△ABC中，若sinA=sinB+sinCcosB+cosC（1）判断三角形的形状；（2）如果三角形面积为4，求三角形周长的最小值．

Question

在△ABC中，若sinA=(sinB+sinC)/(cosB+cosC)
（1）判断三角形的形状；
（2）如果三角形面积为4，求三角形周长的最小值．

Answer 1

由题意得，sinA=(sinB+sinC)/(cosB+cosC)，
由正弦定理得，a（cosB+cosC）=b+c，
由余弦定理得，a（cosB+cosC）=b+c，
a（(a2+c2-b2)/(2ac)+(b2+a2-c2)/(2ab)）=b+c
a²b+c²b-b³+a²c+b²c-c³=2bc（b+c）
a²（b+c）-（b³+c³）=bc（b+c），
化简得，a²=b²+c²，
所以△ABC是直角三角形；
（2）由（1）可得，△ABC的面积S=(1)/(2)bc=4，
则bc=8，
∴a²=b²+c²，∴a=√(b2+c2)，
△ABC的周长L=a+b+c=√(b2+c2)+b+c，
≥√(2bc)+2√(bc)=4+4√(2)（当且仅当b=c时取等号），
∴三角形周长的最小值是4+4√(2)．