已知定理：“实数m，n为常数，若函数h（x）满足h（m+x）+h（m-x）=2n，则函数y=h（x）的图象关于点（m，n）成中心对称”．（Ⅰ）已知函数f（x）=x2x-1的图象关于点（1，b）成中心对称，求实

Question

已知定理：“实数m，n为常数，若函数h（x）满足h（m+x）+h（m-x）=2n，则函数y=h（x）的图象关于点（m，n）成中心对称”．
（Ⅰ）已知函数f（x）=(x2)/(x-1)的图象关于点（1，b）成中心对称，求实数b的值；
（Ⅱ）已知函数g（x）满足g（2+x）+g（-x）=4，当x∈[0，2]时，都有g（x）≤3成立，且当x∈[0，1]时，g（x）=2^k（x-1）+1，求实数k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）=(x2)/(x-1)的图象关于点（1，b）成中心对称，
可得f（1+x）+f（1-x）=2b，
即有((x+1)2)/(x)+((1-x)2)/(-x)=4=2b，
解得b=2；
（Ⅱ）由g（2+x）+g（-x）=4可得g（x）的图象关于点（1，2）对称，
且g（1）=2，
当k=0时，g（x）=2（0≤x≤1），又g（x）关于（1，2）对称，
可得g（x）=2（0≤x≤2），显然g（x）≤3恒成立；
当k>0时，g（x）=2^k（x-1）+1在[0，1]递增，又g（x）关于点（1，2）对称，
可得g（x）在[0，2]递增，g（x）≤3，只需g（x）_max=g（2）≤3，
又g（2）+g（0）=4，则g（0）≥1即2^1-k≥1，
即有0≤k≤1；
当k<0时，g（x）=2^k（x-1）+1在[0，1]递减，又g（x）关于（1，2）对称，
可得g（x）在[0，2]递减，要使g（x）≤3，只需g（x）_max=g（0）≤3，
即2^1-k≤3，解得1-log₂3≤k<0．
综上可得，1-log₂3≤k≤1．