如图所示,等腰梯形ABCD中,AB‖CD,AD=BC,且AC⊥BD,CH是AB上的高.求证：AB+CD=2CH

Question

如图所示,等腰梯形ABCD中,AB‖CD,AD=BC,且AC⊥BD,CH是AB上的高.
求证：AB+CD=2CH

Answer 1

过C做CE//AD,交AB延长线于E,
很明显平行四边形ADCE中,AE=CD,CE=AD=BC
所以CBE为等腰三角形,于是BH=HE
所以AH=(AB+AE)/2=(AB+CD)/2
在三角形ADC和BDC中,DC公共边,AD=BC,等腰梯形两底角ADC=BCD,
所以两三角形全等,因此角BDC=角ACD
又AC⊥BD,所以,角ACD=45°,所以角HAC=45°
所以三角形AHC为等腰直角三角形,所以
CH=AH=(AB+AE)/2=(AB+CD)/2
所以AB+CD=2CH