如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC．将△ACD沿对角线AC翻折后，点D恰好与边AB的中点M重合．（1）点C是否在以AB为直径的圆上？请说明理由；（2）当AB=4时，求此梯形的面积．

Question

如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC．将△ACD沿对角线AC翻折后，点D恰好与边AB的中点M重合．
（1）点C是否在以AB为直径的圆上？请说明理由；
（2）当AB=4时，求此梯形的面积．

Answer 1

（1）点C在以AB为直径的圆上．
理由如下：连接MC，
∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∵∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠MCA，
∴∠DAC=∠MCA，
∴AD∥MC，
∴四边形AMCD是平行四边形，
∴AM=CD，
∵△ACD沿对角线AC翻折后，点D恰好与边AB的中点M重合，
∴DC=MC，
∴AM=MC，
∵点M是AB的中点，
∴AM=BM，
∴AM=MC=BM，
∴点C在以AB为直径的圆上；
（2）由（1）得四边形AMCD是平行四边形，
∴AD=MC，
∵AD=BC，
∴MC=BC，
∴△BCM是等边三角形，
∵AB=4，
∴BC=BM=(1)/(2)AB=2，
过点C作CE⊥MB，垂足为E，
则BE=(1)/(2)MB=1，
由勾股定理得，CE=√(BC2−BE2)=√(22−12)=√(3)，
∴梯形ABCD的面积=(1)/(2)（2+4）×√(3)=3√(3)．