（2008•东城区一模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1=1，AC=2．（1）求直线B1C与平面ABB1A1所成角的大小；（2）求二面角A-B1C-B的大小．

Question

（2008•东城区一模）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁=1，AC=√(2)．
（1）求直线B₁C与平面ABB₁A₁所成角的大小；
（2）求二面角A-B₁C-B的大小．

Answer 1

（1）由直三棱柱性质，B₁B⊥平面ABC，
∴B₁B⊥AC，
又BA⊥AC，
∴AC⊥平面ABB₁A₁，
∴∠CB₁A为直线B₁C与平面ABB₁A₁所成的角．
由AB=BB₁=1，可得AB₁=√(2)．
又AC=√(2)，∴tanCB₁A=(AB)/(AB1)=1．
∴直线B₁C与平面ABB₁A₁所成角的大小为45°．（7分）
（2）过A做AM⊥BC，垂足为M，
过M做MN⊥B₁C，垂足为N，连接AN，
由AM⊥BC，可得AM⊥平面BCC₁B₁，
由三垂线定理，可知AN⊥B₁C，
∴∠ANM为二面角A-B₁C-B的平面角，
又AM=(AB•AC)/(BC)=(√(6))/(3)，AN=(AB1•AC)/(B1C)=1
∴sinANM＝(AM)/(AN)＝(√(6))/(3)
∴二面角A-B₁C-B的大小为arcsin(√(6))/(3)（14分）