如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于O，AB=4，AD=3．沿AC把△ACD折起，使二面角D1-AC-B为直二面角．（1）求直线AD1与直线DC所成角的余弦值；（2）求二面角A-DD1-C的平面角正弦值大小．

Question

如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于O，AB=4，AD=3．沿AC把△ACD折起，使二面角D₁-AC-B为直二面角．
（1）求直线AD₁与直线DC所成角的余弦值；
（2）求二面角A-DD₁-C的平面角正弦值大小．

Answer 1

（1）以点B为坐标原点，平面ABC为xOy平面，BC，BA方向分别为x轴，y轴的正方向，建立空间直角坐标系．则B（0，0，0），C（3，0，0），A（0，4，0）．
在矩形ABCD中，作DH⊥AC于H，HM⊥BC于M，HN⊥AB于N，则H即为D₁在平面ABC上的射影．
∵AB=4，AD=3，∴AC=5，DH＝(12)/(5)，HN＝(27)/(25)，HM＝(64)/(25)，D1((27)/(25)，(64)/(25)，(12)/(5))，…（6分）
∴

AD1

＝((27)/(25)，(64)/(25)，(12)/(5))−(0，4，0)＝((27)/(25)，(−36)/(25)，(12)/(5))，

DC

＝(3，0，0)−(3，4，0)＝(0，−4，0)，
所以cos＜

AD1

，

DC

＞＝

AD1

•

作业帮用户 2017-09-26

问题解析

（1）以点B为坐标原点，平面ABC为xOy平面，BC，BA方向分别为x轴，y轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出

AD1

，

DC

的坐标，利用向量的夹角公式，即可求直线AD₁与直线DC所成角的余弦值；
（2）分别求出平面D₁BC的法向量、平面D₁BA的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出二面角A-DD₁-C的平面角正弦值大小．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角．

考点点评：

本题考查空间角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，确定向量的坐标是关键．

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