如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1；（Ⅱ）求二面角B1-DC-B的平面角的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥C1-B1CD的体积．

Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点，
（Ⅰ）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）求二面角B₁-DC-B的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥C₁-B₁CD的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接C₁B，设CB₁与C₁B的交点为E，
连接DE，由四棱柱侧面为平行四边形知E是BC₁的中点，
∵D是AB的中点，∴DE∥AC₁，
∵DE⊂平面CDB₁，AC₁⊄平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）过B作BF⊥CD，垂足为F，连接B₁F，则∠B₁FB为二面角B₁-DC-B的平面角
∵AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点，∴由等面积可得(1)/(2)×(1)/(2)×3×4=(1)/(2)×(5)/(2)×BE
∴BF=(12)/(5)
∵AA₁=4，∴B₁F=(4√(34))/(25)
∴二面角B₁-DC-B的平面角的余弦值为(BF)/(B1F)=(15√(34))/(34)；
（Ⅲ）三棱锥C₁-B₁CD的体积等于三棱锥D-C₁B₁C的体积，即(1)/(3)S△C1B1C•(3)/(2)=(1)/(3)×(1)/(2)×4×4×(3)/(2)=4．