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直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,且∠BAD=60°,A1A=AB=2,E为BB1延长线上的一点,D1E⊥面D1AC.(1)若H是BB1的中点,证明:DH∥D1E;(2)求三棱锥A-CDE的体积;(3)求二面角E-AC-D1的大小
题目详情
直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,且∠BAD=60°,A1A=AB=2,E为BB1延长线上的一点,D1E⊥面D1AC.
(1)若H是BB1的中点,证明:DH∥D1E;
(2)求三棱锥A-CDE的体积;
(3)求二面角E-AC-D1的大小.
(1)若H是BB1的中点,证明:DH∥D1E;
(2)求三棱锥A-CDE的体积;
(3)求二面角E-AC-D1的大小.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连接BD交AC于O,
在矩形BDD1B1中,O是BD的中点,H是BB1的中点
∴
,∴∠HDB=∠DD1O,∴DH⊥D1O,
∵AC⊥平面BDD1B1,DH⊂平面BDD1B1,
∴AC⊥DH
∵AC∩D1O=O
∴DH⊥面D1AC,
又∵D1E⊥面D1AC,∴DH∥D1E;
(2)由(1)知DH∥D1E,
∵DD1∥EH,∴四边形DD1HE是平行四边形
∴EH=DD1=2,∴BE=3
∵AB∥CD,∴三棱锥A-CDE的体积等于三棱锥B-CDE的体积,等于三棱锥D-BCE的体积
∵∠BAD=60°,AB=2,∴D到平面BC1的距离为
∴D-BCE的体积等于
×
×2×3×
=
∴三棱锥A-CDE的体积等于
;
(3)建立如图所示的直角坐标系,则A(
,0,0),B(0,1,0),C(-
,0,0),D(0,-1,0),D1(0,-1,2)
设E(0,1,2+h),则
=(0,2,h),
=(2
在矩形BDD1B1中,O是BD的中点,H是BB1的中点
∴
|
∵AC⊥平面BDD1B1,DH⊂平面BDD1B1,
∴AC⊥DH
∵AC∩D1O=O
∴DH⊥面D1AC,
又∵D1E⊥面D1AC,∴DH∥D1E;
(2)由(1)知DH∥D1E,
∵DD1∥EH,∴四边形DD1HE是平行四边形
∴EH=DD1=2,∴BE=3
∵AB∥CD,∴三棱锥A-CDE的体积等于三棱锥B-CDE的体积,等于三棱锥D-BCE的体积
∵∠BAD=60°,AB=2,∴D到平面BC1的距离为
3 |
∴D-BCE的体积等于
1 |
3 |
1 |
2 |
3 |
3 |
∴三棱锥A-CDE的体积等于
3 |
(3)建立如图所示的直角坐标系,则A(
3 |
3 |
设E(0,1,2+h),则
D1E |
CA |
作业帮用户
2017-09-29
|
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