如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1，M、N分别是A1B、B1C1的中点．（1）求证：MN⊥平面A1BC；（2）求直线BC1和平面A1BC所成角的大小；（3）求二面角A-BC-A1的平面的余弦值；（4）求点B

Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=CC₁，M、N分别是A₁B、B₁C₁的中点．

（1）求证：MN⊥平面A₁BC；
（2）求直线BC₁和平面A₁BC所成角的大小；
（3）求二面角A-BC-A₁的平面的余弦值；
（4）求点B₁到平面A₁BC的距离．

Answer 1

（1）证明：由已知BC⊥AC，BC⊥CC₁，
所以BC⊥平面ACC₁A₁．连接AC₁，则BC⊥AC₁．
由已知，侧面ACC₁A₁是矩形，所以A₁C⊥AC₁．
又BC∩A₁C=C，所以AC₁⊥平面A₁BC．
因为侧面ABB₁A₁是正方形，M是A₁B的中点，连接AB₁，则点M是AB₁的中点．
又点N是B₁C₁的中点，则MN是△AB₁C₁的中位线，所以MN∥AC₁．
故MN⊥平面A₁BC．
（2） 因为AC₁⊥平面A₁BC，设AC₁与A₁C相交于点D，
连接BD，则∠C₁BD为直线BC₁和平面A₁BC所成角．
设AC=BC=CC₁=a，则C₁D=(√(2))/(2)a，BC₁=√(2)a．
在Rt△BDC₁中，sin∠C₁BD=(1)/(2)，
所以∠C₁BD=30°，故直线BC₁和平面A₁BC所成的角为30°．
（3） 由题意，∠A₁CA为二面角A-BC-A₁的平面角，
由于AC=BC=CC₁=a，∴cos∠A₁CA=(√(2))/(2)，
∴二面角A-BC-A₁的平面角的余弦值为(√(2))/(2)；
（4） 设点B₁到平面A₁BC的距离为h，则由等体积可得(1)/(3)×(1)/(2)a•√(2)a•h=(1)/(3)×(1)/(2)a•√(2)a•(√(2))/(2)a，
∴h=(√(2))/(2)a．