复变函数中,积分路径C是i到2+i的直线段,则C的参数方程是Z=（1-t）i+t（2+i）,为什么,怎么解的

Question

复变函数中,积分路径C是i到2+i的直线段,则C的参数方程是Z=（1-t）i+t（2+i）,为什么,怎么解的

Answer 1

z=x + y i
x=2t
y=1
即直线方程为: y=1
这就是复数平面上的路径C对应的直线方程.

z=(1-t)i + t(2+i),
这种表述方法, 除了可以用前面的方法解释, 还有特殊的含义.
由于直线通过点 z1=i和 z1 = 2+i
z必定是关于某个参数(此处可设为t)的线性表达式.
可设 z=i(a+bt) + (2+i)(c+dt)
令t=0时, z=z1. 则 ia + (2+i)c=i => c=0, a=1
令t=1时, z=z2, 则i(a+b)+(2+i)(c+d)=i(1+b)+(2+i)d=2d+(1+b+d)i=2+i
=> d=1, b=-1
z=(1-t)i + (2+i)t
这刚好就是原题中的公式.