设函数f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）=f（1）=0，证明：至少存在一点ξ∈（0，1），使得f′（ξ）+2f（ξ）=0．

Question

设函数f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）=f（1）=0，证明：至少存在一点ξ∈（0，1），使得f′（ξ）+2f（ξ）=0．

Answer 1

证明：令F（x）=e^2xf（x），
则F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且F（0）=F（1）．
由罗尔中值定理知，存在ξ∈（0，1），使得F′（ξ）=2e^2ξf（ξ）+e^2ξf′（ξ）=0，
即：f′（ξ）+2f（ξ）=0．