导数证明题一题证明：f（x）={xsin1/x,x≠0{0,x=0在点x=0处连续,但不可导xsin1/x,x≠0f（x）={0,x=0

Question

导数证明题一题
证明：f（x）={xsin1/x,x≠0
{ 0 ,x=0 在点x=0处连续,但不可导
xsin1/x ,x≠0
f（x）={
0 ,x=0

Answer 1

证明;f(x)=xsin(1/x),当x≠0;f(x)=0,当x=0.
f(x)在点x=0连续但不可导,即f'(0)不存在.
∵x→0limf(x)=x→0lim(xsin1/x)=0=f(0),极限等于函数值,
∴f(x)在点x=0连续.(其中x是无穷小量,sin1/x是有界函数,
故x→0lim(xsin1/x)=0).
但f'(0)不存在.∵当x=0时,
△y/△x=[f(0+△x)-f(0)]/△x=[f(△x)-f(0)]/△x =△xsin(1/△x)/△x=sin(1/△x),
极限△x→0lim(△y/△x)=△x→0limsin(1/△x)不存在.因为当△x→0时,
sin(1/△x)在-1与1之间无限次振动