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如图,已知点A(1,m),B(2,n)在反比例函数y=tx(x>0)的图象,设直线AB与x轴交于点C,AD⊥x轴于D点,(1)若m=n+1,求t的值;(2)若m,n是关于x方程:x2-2ax+a2-1=0的两根,问:在x轴上是否

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如图,已知点A(1,m),B(2,n)在反比例函数y=
t
x
(x>0)的图象,设直线AB与x轴交于点C,AD⊥x轴于D点,
(1)若m=n+1,求t的值;
(2)若m,n是关于x方程:x2-2ax+a2-1=0的两根,问:在x轴上是否存在点E,使得△ABE与△ADC相似?若存在,请求出点E坐标;不存在,说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵点A(1,m),B(2,n)在反比例函数图象上,
∴m=t,n=
1
2
t,
∵m=n+1,
∴t=
1
2
t+1,
解得t=2;

(2)x2-2ax+a2-1=0,
(x-a-1)(x-a+1)=0,
∴x-a-1=0,x-a+1=0,
解得x1=a+1,x2=a-1,
结合图形可知m>n,
∴m=a+1,n=a-1,
∴a+1=t,a-1=
1
2
t,
解得t=4,
∴反比例函数解析式为y=
4
x

∴点A、B的坐标是A(1,4)、B(2,2),
设直线AB的解析式为y=kx+b,
k+b=4
2k+b=2

解得
k=−2
b=6

∴直线AB的解析式为y=-2x+6,
当y=0时,-2x+6=0,
解得x=3,
∴点C的坐标为(3,0),
又∵A(1,4)、B(2,2),
∴AD=4,CD=3-1=2,且点B是AC的中点,
①如图1,当BE是直角边时,△AEC关于BE成轴对称,
∴∠AEB=∠CEB,
∵∠CEB+∠ACE=90°,∠CAD+∠ACD=90°,
∴∠CEB=∠AEB=∠CAD,
在△ABE与△CDA中,
∠AEB=∠CAD
∠ABE=∠ADC=90°

∴△ABE∽△CDA,
在Rt△CDA中,AC=
作业帮用户 2017-09-22
问题解析
(1)把点A、B的坐标代入反比例函数解析式,然后根据m=n+1代入整理得到关于t的一元一次方程,然后解方程即可得解;
(2)利用因式分解法求出方程的解,然后结合图形得到m、n的表达式,再根据(1)的方法利用反比例函数解析式代入求出t的值,从而得到点A、B的坐标,利用待定系数法求出直线AB的解析式,再求出点C的坐标,从而得到AD、CD的长度,然后分①BE是直角边时,利用两角对应相等,两三角形相似判定,再根据相似三角形对应边成比例列式求出CE的长,从而得到点E的坐标,②AE是直角边时,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ABE=∠BEC+∠ACD,从而得到△ABE与△ADC不可能相似.
名师点评
本题考点:
反比例函数综合题;根的判别式;反比例函数图象上点的坐标特征;反比例函数与一次函数的交点问题;相似三角形的判定.
考点点评:
本题综合考查了反比例函数的问题,待定系数法求直线解析式,相似三角形的判定与性质,一元二次方程的求解,反比例函数图象与一次函数图象的交点问题,综合性质较强,难度较大.
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