（2012•长宁区一模）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知底面ABCD的边长为2，点P是CC1的中点，直线AP与平面BCC1B1成30°角，求异面直线BC1和AP所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

Question

（2012•长宁区一模）在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知底面ABCD的边长为2，点P是CC₁的中点，直线AP与平面BCC₁B₁成30°角，求异面直线BC₁和AP所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

Answer 1

连接BP，设长方体的高为h，
因为AB⊥平面BCC₁B₁，
所以，∠APB即为直线AP与平面BCC₁B₁所成的角
PB＝√((h2)/(4)+4)，
由tan600＝(√((h2)/(4)+4))/(2)得h＝4√(2)．
又因为AD₁∥BC₁，
所以∠D₁AP是异面直线BC₁和AP所成的角．
在△D₁AP中，AD₁=6，PA=4，D1P＝2√(3)，
所以，cos∠D1AP＝(16+36−12)/(2•4•6)＝(5)/(6)，即∠D1AP＝arccos(5)/(6)