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{an}是正项数列,其前n项.和为Sn,且1与Sn的几何平均数等于1与an的算术平均数.(1)求证:{an}为等差数列,并求an(2)若<(m2-m)关于n∈N*恒成立,求正数m的范围;(3)记Tn=,求证:4T2n
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{an}是正项数列,其前n项.和为Sn,且1与Sn的几何平均数等于1与an的算术平均数.
(1)求证:{an}为等差数列,并求an
(2)若<(m2-m)关于n∈N*恒成立,求正数m的范围;
(3)记Tn=,求证:4T2n≥n+2.
(1)求证:{an}为等差数列,并求an
(2)若<(m2-m)关于n∈N*恒成立,求正数m的范围;
(3)记Tn=,求证:4T2n≥n+2.
▼优质解答
答案和解析
第1问利用几何平均数和算术平均数的概念列出Sn与an的关系式,然后利用:可得出an与an-1递推关系证明出{an}是等差数列;第2问因为第1问知{an}是等差数列,所以数列的前n项和可以用裂项法求出,然后根据数列的单调性和对数函数的单调性可以证明出该不等式.第3问先表达出Tn,然后在表达出,在构造,利用f(n)-f(n-1)结果的正、负来判断出单调性,从而可以证明出最后的结论.
【解析】
(1)由题意得:,即4Sn=1+2an+an2 ①
当n=1时,a1=1
当 n≥2时,4Sn1=1+2an-1+an-12 ②
又an>0
∴an-an-1=2(n≥2)
∴{an}是以a1=1为首项,2为公差的等差数列.
∴an=2n-1…4分
(2)由(1)知:
=
=
=
由数列单调性知:
由题意得:,其中m>0且 m≠1
∵=
∴≥1=logmm…③
由得:m>1
所以由③可得:m2-m≥m,即 m(m-2)≥0,∴m≥2
m的范围为[2,+∞)…9分
(3)由题意得:
∴
令
则
=
∴f(n)单调递增.
由
∴f(n)≥0
∴…14分
【解析】
(1)由题意得:,即4Sn=1+2an+an2 ①
当n=1时,a1=1
当 n≥2时,4Sn1=1+2an-1+an-12 ②
又an>0
∴an-an-1=2(n≥2)
∴{an}是以a1=1为首项,2为公差的等差数列.
∴an=2n-1…4分
(2)由(1)知:
=
=
=
由数列单调性知:
由题意得:,其中m>0且 m≠1
∵=
∴≥1=logmm…③
由得:m>1
所以由③可得:m2-m≥m,即 m(m-2)≥0,∴m≥2
m的范围为[2,+∞)…9分
(3)由题意得:
∴
令
则
=
∴f(n)单调递增.
由
∴f(n)≥0
∴…14分
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