（2010•宿松县三模）若数列{an}的前n项和Sn是（1+x）n二项展开式中各项系数的和（n=1，2，3，…）．（1）求{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足b1=-1，bn+1=bn+（2n-1），且cn＝an•bnn，求数列{cn}

Question

（2010•宿松县三模）若数列{a_n}的前n项和S_n是（1+x）ⁿ二项展开式中各项系数的和（n=1，2，3，…）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=-1，b_n+1=b_n+（2n-1），且cn＝(an•bn)/(n)，求数列{c_n}的通项及其前n项和T_n．
（3）求证：T_n•T_n+2＜T_n+1²．

Answer 1

（1）由题意S_n=2ⁿ，S_n-1=2^n-1（n≥2），
两式相减得a_n=2ⁿ-2^n-1=2^n-1（n≥2）．
当n=1时，2×1-1=1≠S₁=a₁=2
∴an＝

2         (n＝1)

2n−1   (n≥2)

．
（2）∵b_n+1=b_n+（2n-1），∴b₂-b₁=1，b₃-b₂=3，b₄-b₃=5，
b_n-b_n-1=2n-3．以上各式相加得：
b_n-b₁=1+3+5+…+（2n-3）=((n−1)[1+(2n−3)])/(2)＝(n−1)2
∵b₁=-1，∴b_n=n²-2n
∴cn＝

−2          (n＝1)

(n−2)2n−1(n≥2)

．
∴T_n=-2+0×2¹+1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-2）2^n-1
∴2T_n=-4+0×2²+1×2³+2×2⁴+…+（n-2）2ⁿ．
∴-T_n=2+2²+2³++2^n-1-（n-2）2ⁿ=(2(1−2n−1))/(1−2)−(n−2)2n
∴T_n=-2ⁿ+2+（n-2）2ⁿ=2+（n-3）2ⁿ．
∴T_n=2+（n-3）2ⁿ．当n=1时T1=-2也适合上式．
∴T_n=2+（n-3）2ⁿ
（3）证明：T_n•T_n+2-T_n+1²=[2+（n-3）•2ⁿ]•[2+（n-1）•2ⁿ⁺²]-[2+（n-2）•2ⁿ⁺¹]²
=4+（n-1）•2ⁿ⁺³+（n-3）•2ⁿ⁺¹+（n-1）（n-3）•2²ⁿ⁺²-[4+（n+2）（n+2）•2²ⁿ⁺²+（n-2）•2ⁿ⁺³]
=2ⁿ⁺¹[（n+1）-2ⁿ⁺¹]
∵2ⁿ⁺¹＞0，∴需证明n+1＜2ⁿ⁺¹，用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，1+1＜2¹⁺¹成立．
②假设n=k时，命题成立即k+1＜2^k+1，
那么，当n=k+1时，（k+1）+1＜2^k+1+1＜2^k+1+2^k+1=2•2^k+1=2^（k+1）+1成立．
由①、②可得，对于n∈N*都有n+1＜2ⁿ⁺¹成立．
∴2ⁿ⁺¹[（n+1）-2ⁿ⁺¹]＜0
∴T_n•T_n+2＜T_n+1²