数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an是(3-x)n的二项展开式中x的系数，设bn=3nan，Tn为数列{bn}的前n项和，则an=，T99=．

Question

数列{a _n }中，a ₁ =1，当n≥2时，a _n 是 (3-

x

) n 的二项展开式中x的系数，设 b n =(3n)/(an) ， T n 为数列{b _n }的前n项和，则a _n =______，T ₉₉ =______．

Answer 1

设 (3-

x

) n 的二项展开式的通项公式为T _r+1 =

C

rn

（-1） ^r •3 ^n-r • (

x

) r ，
令r=2，则T ₃ =

C

2n

3 ^n-2 x，
∴当n≥2时，a _n = (n(n-1))/(2) •3 ^n-2 ，
∴a _n =

1，n=1

(n(n-1))/(2) •3 n-2 ，n≥2

又b _n = (3n)/(an) ，数列{b _n }的前n项和为T _n ，
∴当n≥2时，b _n = (3n)/(3n-2 •(n(n-1))/(2)) = (18)/(n(n-1)) =18（ (1)/(n-1) - (1)/(n) ），又b ₁ =3，
∴T ₉₉ =3+18[（1- (1)/(2) ）+（ (1)/(2) - (1)/(3) ）+…+（ (1)/(98) - (1)/(99) ）]
=3+18（1- (1)/(99) ）
=3+ (196)/(11)
= (229)/(11) ．
故答案为：

1，n=1

(n(n-1))/(2) •3 n-2 ，n≥2

； (229)/(11) ．