已知A，B是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）左右顶点，B（2，0）过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆与M，N，交直线x=4于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列，T（14，0）点是定点（1）求椭圆C的方程

Question

已知A，B是椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）左右顶点，B（2，0）过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆与M，N，交直线x=4于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列，T（(1)/(4)，0）点是定点
（1）求椭圆C的方程；
（2）求三角形MNT面积的最大值．

Answer 1

（1）∵A，B是椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）左右顶点，B（2，0），
∴a=2，
设直线PF的斜率为k，设右焦点F坐标为（c，0）
则PF的方程为y=k（x-c）
P点坐标为（4，4k-kc），PA的斜率为(1)/(6)（4k-kc），
PB斜率为(1)/(2)（4k-kc），
∵直线PA，PF，PB的斜率成等差数列
∴2k=(1)/(6)（4k-kc）+(1)/(2)（4k-kc），
解得c=1，
∴b=√(4−1)=√(3)，
∴椭圆C的方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1．（7分）
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线MN：x=my+1与椭圆联立，
得（3m²+4）y²+6my-9=0，
|y₁-y₂|²=(36m2)/((3m2+4)2)+(36)/(3m2+4)
=144(m2+1)/((3m2+4)2)，（12分）
令t=m²+1≥1，则|y₁-y₂|²=144(t)/((3t+1)2)=144(1)/(9t+(1)/(t)+6)≤9，
故（S_△MNT）_max=(1)/(2)×(3)/(4)×3＝(9)/(8)．（14分）