点P是△ABC外角平分线的交点,试判断∠BPC与∠A的关系

Question

点P是△ABC外角平分线的交点,试判断∠BPC与∠A的关系

Answer 1

简单理解如下：
垂心.因为pa·pb=pa·pc,所以pb与pc在pa方向上的投影相等,所以bd垂直pa.同理另两条均垂直,即垂心.
具体证法如下：
因为 向量PA×向量PB=向量PB×向量PC
所以,向量PB×(向量PC-向量PA)=0
所以,向量PB×向量AC=0
所以,向量PB⊥向量AC
所以,PB⊥AC
因为 向量PB×向量PC=向量PC×向量PA
所以,向量PC×(向量PB-向量PA)=0
所以,向量PC×向量AB=0
所以,向量PC⊥向量AB
所以,PC⊥AB
因为 向量PA×向量PB=向量PC×向量PA
所以,向量PA×(向量PC-向量PB)=0
所以,向量PA×向量BC=0
所以,向量PA⊥向量BC
所以,PA⊥BC
因为PA⊥BC,PB⊥AC,PC⊥AB,
所以,P为△ABC三条高的交点
所以,P为△ABC的垂心
祝您学习愉快