如图，已知在Rt△ABC中，AB=AC=322，在△ABC内作第一个内接正方形DEFG；然后取GF的中点P，连接PD、PE，在

Question

如图，已知在Rt△ABC中，AB=AC= (3√(2))/(2)，在△ABC内作第一个内接正方形DEFG；然后取GF的中点P，连接PD、PE，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第2016个内接正方形的边长为___．

Answer 1

∵AB=AC=(3√(2))/(2)，∠A=90°，
∴∠B=∠C=45°，BC=√(2)AC=3
∵四边形GDEF是正方形，
∴∠GDE=∠FED=90°，GF=GD=DE=EF，
∴∠BDG=∠CEF=90°，
∴∠B=∠BGD=45°，∠C=∠EFC=45°，
∴BD=DG=DE=EC=EF，
∴DE=(1)/(3)BC=1，
∴第一个正方形边长为1，设第二个正方形边长为x，
∵∠JDH=∠DPG，∠DGP=∠DHJ=90°，
∴△DGP∽△JHD，
∴(DG)/(JH)=(GP)/(DH)，
∴(1)/(x)=((1)/(2))/(DH)，
∴DH=(1)/(2)x，同理，IE=(1)/(2)x，
∵DE=DH+HI+IE，
∴1=2x，
∴x=(1)/(2)，
∴第二个正方形边长为(1)/(2)=（(1)/(2)）¹，同理第三个正方形边长为(1)/(4)=（(1)/(2)）²，…，
∴第2016个内接正方形的边长为（(1)/(2)）²⁰¹⁵，
故答案为（(1)/(2)）²⁰¹⁵．