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已知正方形ABCD中,边长为4,E为AB边上的一动点,(E与A,B点不重合),设AE=x,以E为顶点的内接正方形的面积为y,求y与x的函数关系式,当x为何值时内接正方形的面积最小.

题目详情
已知正方形ABCD中,边长为4,E为AB边上的一动点,(E与A,B点不重合),设AE=x,以E为顶点的内接正方形的面积为y,
求y与x的函数关系式,当x为何值时内接正方形的面积最小.
▼优质解答
答案和解析
如图,
∵ABCD与EFGH均为正方形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D,EF=FG=GH=HE,
∠DHG+∠AHE=∠DHG+∠DGH=∠BEF+∠AEH=∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠GFC=90°,
∴∠AHE=∠DGH=∠GFC=∠BEF,
∴△AEH≌△DHG≌△CFG≌△BEF,
设AE=x,则BF=CG=DH=x,
BE=CF=DG=AH=4-x,
EF2=BE2+BF2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16,
∴y=S正方形EFGH=EF2=2x2-8x+16=2(x-2)2+8≥8,
∴y与x的函数关系式为:y=EF2=2x2-8x+16,
当且仅当x=2,即E为AB中点时取最小值8.