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如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC平分∠BAD交BD于点E,⊙O的半径为4,∠BAD=60°,∠BCA=15°,则AE=.
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如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC平分∠BAD交BD于点E,⊙O的半径为4,∠BAD=60°,∠BCA=15°,则AE= ___ .
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▼优质解答
答案和解析
连接OA、OC、OB,OC交于BD点F,
∵AC平分∠BAD交BD于点E,∠BAD=60°,
∴∠BAC=∠CAD=30°,
由圆周角定理知,弧BC=弧CD,∠BOC=60°,
∴BC=CD,∠CBD=∠BDC=30°,
又∵OB=OC,∴△OBC是等边三角形,∠BOC=60°,
∵∠ACB=15°,
∴∠AOB=30°,∠ADF=15°,∠AOC=90°
∵OA=OC=4,
∴△AOC是等腰直角三角形,
∴AC=
=4
,
∵点C是弧BD的中点,
∴OC⊥BD,
∵∠CBD=30°,∠CBO=60°
∴∠OBF=∠CBF=30°,
∴△BFO≌△BFC,
∴OF=CF,即点F是OC的中点,
∵AO∥BD,
∴△CEF∽△CAO,且相似比为CF:CO=1:2,
∴CE:CA=1:2,
则AE=
AC=2
.
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∵AC平分∠BAD交BD于点E,∠BAD=60°,
∴∠BAC=∠CAD=30°,
由圆周角定理知,弧BC=弧CD,∠BOC=60°,
∴BC=CD,∠CBD=∠BDC=30°,
又∵OB=OC,∴△OBC是等边三角形,∠BOC=60°,
∵∠ACB=15°,
∴∠AOB=30°,∠ADF=15°,∠AOC=90°
∵OA=OC=4,
∴△AOC是等腰直角三角形,
∴AC=
42+42 |
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∵点C是弧BD的中点,
∴OC⊥BD,
∵∠CBD=30°,∠CBO=60°
∴∠OBF=∠CBF=30°,
∴△BFO≌△BFC,
∴OF=CF,即点F是OC的中点,
∵AO∥BD,
∴△CEF∽△CAO,且相似比为CF:CO=1:2,
∴CE:CA=1:2,
则AE=
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