已知园内接四边形ABCD,边长分别为AB=2.BC=6.CD=DA=4.求四边形面积.

Question

已知园内接四边形ABCD,边长分别为AB=2.BC=6.CD=DA=4.求四边形面积.

Answer 1

根据圆内接凸四边形对角之和等于180°,利用余弦定理求出一个角,然后再求面积.
以AB和AD为邻边构造三角形,其夹角以α表示,依余弦定理有：BD^2=AB^2+DA^2-2AB*DA*cosα；
以CB和CD为邻边构造三角形,其夹角以180-α表示,同理有：BD^2=BC^2+CD^2+2BC*CD*cosα；
两式相等:AB^2+DA^2-2AB*DA*cosα=BC^2+CD^2+2BC*CD*cosα；
将有关数据代入上式得：2^2+4^2-2*2*4cosα=4^2+6^2+2*4*6cosα；
从中可求出cosα=-(6-2)/(2*4)=-1/2；
所以 α=120°；
四边形面积＝AB*DA*sin(120°)/2+BC*CD*sin(60°)/2=(2*4+4*6)*√3/4=8√3；